Compressibility

                                     

                                 COMPRESSIBILITY           

Compressibility is the reciprocal of the bulk modulus of elasticity, K which is defined as the ratio of compressive stress to volumetric strain.

                                       Fig.1

   Consider a cylinder fitted with a piston as shown in Fig.1
          Let  ∀= Volume of a gas enclosed in the cylinder. 
                 p = Pressure of gas when volume is ∀

 Let the pressure is increased  to p+dp,the volume of gas decreases from ∀
 to ∀ - d∀.
          
Then increase in pressure    = dp  kgf/㎡
Decrease in volume               = d∀
  ∴    Volumetric strain            =  - d∀/∀. 
 - ve sign means the volume decreases with increase of pressure.
           
  ∴  Bulk modulus ,        K = Increase of pressure / Volumetric strain 
                                                            
                                                   = dp/(-d∀/∀)                                                                                                                                               =  - dp / d∀.∀     .....(1)
                                    Compressibility.        =  1/K             ..........(2)

 Relationship between Bulk Modulus (K) and Pressure              (p) for a Gas :-

 The relationship between bulk modulus of elasticity (K)  and pressure for a gas for.             two different processes of compression are as :

  (i) For Isothermal Process : 

   Equation (1) gives the relationship between pressure (p) and density of a gas as             
                          
   p/ρ   =   Constant.       Or.                              p∀  =  Constant 
                               
   Differentiating  this equation, we get (p and ∀ both are variables ) 
                   

   Pd∀ + ∀dp  = 0  or   pd∀  = - ∀dp  or  p = (-∀dp /d∀)

   Substituting this value in equation (1),  we get  

                                               
    K = p           ....   (3)

   (ii)  For Adiabatic Process :-  

      p/ρ^k = Constant   or   p∀^k = Constant 

      Differentiating, we get pd(∀) + ∀(dp)    = 0
                             
      or.    pkd∀ +  ∀dp    =  0

                                                                          

                                          
      pk =  -  ∀dP / d∀
                                                          K = pk                                 

Where K = Bulk modulus  and k = Ratio of specific heats 

 PROBLEM   :- Determine the bulk modulus of elasticity of a liquid, if the pressure.               of the liquid is increased from 70 N/ ㎡ to 130  N/c㎡  The Volumeof the liquid decreases by 0. 15  per cent                                                                                                                 

       
Solution :-  Given :

                              Initial force.               =70N/c㎡

                              Final pressure           =  130 N/c㎡    
                              Decrease in volume. = 0.15%    (-d∀/∀) = 0.15/100

                              dp                              =Increase in pressure   130-70= 60N/c㎡
                              Bulk modulus. K        = dp /(-d∀/∀)= 60x100/15 = 4x10^4 N/c㎡ ..Ans 
                             

.